В геометрии существует важная теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. Рассмотрим строгое математическое доказательство этого утверждения.
Содержание
Формулировка теоремы
Сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 360 градусов, независимо от количества сторон.
Предварительные понятия
- Внутренний угол - угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника
- Внешний угол - угол, смежный с внутренним углом многоугольника
- Выпуклый многоугольник - многоугольник, все внутренние углы которого меньше 180 градусов
Доказательство теоремы
Шаг 1: Связь внутренних и внешних углов
Для каждой вершины многоугольника внутренний (α) и внешний (β) углы связаны соотношением:
α + β = 180° (как смежные углы)
Шаг 2: Сумма всех пар углов
Для n-угольника имеем n вершин, следовательно:
Σ(α + β) = n × 180°
Шаг 3: Сумма внутренних углов
Известно, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:
Σα = (n - 2) × 180°
Шаг 4: Вычисление суммы внешних углов
Подставим известные значения в уравнение из шага 2:
(n - 2) × 180° + Σβ = n × 180°
Раскроем скобки:
n × 180° - 360° + Σβ = n × 180°
Вычтем n × 180° из обеих частей:
-360° + Σβ = 0
Следовательно:
Σβ = 360°
Геометрическая интерпретация
| Многоугольник | Сумма внешних углов |
| Треугольник | 360° |
| Четырехугольник | 360° |
| Пятиугольник | 360° |
| n-угольник | 360° |
Важные замечания
- Доказательство справедливо только для выпуклых многоугольников
- Для невыпуклых многоугольников сумма может отличаться
- Внешние углы измеряются при последовательном обходе многоугольника
Практическое значение
Эта теорема находит применение в различных областях:
- В компьютерной графике при обработке полигонов
- В архитектурных расчетах
- При проектировании механических деталей
- В навигационных системах
